uko 13,4
Jednoduché příklady – sinová a kosinová věta
- S využitím sinové věty určete zbývající velikosti stran a úhlů trojúhelníků:
a) ABC: c=20 cm, α=105°, β=30° [45°; a=27,32 cm; b=14,14 cm]
b) ABC: a=12,8 cm, b=10 cm, α=58°30´ [β=41°46´; γ=79°44´; c=14,77 cm]
c) ABC: β = 60°, γ=100°, a=2,6 m [α=20°; b=6,58 m; c=7,49 m]
- Řešte slovní úlohy s využitím sinové věty:
a) Z pozorovatelny vysoké 15 m a vzdálené 30 m od břehu řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu γ=15°. Určete šířku řeky. [43,5 m]
b) Pozorovatel vidí přímou ohradu dlouhou 100 m v zorném úhlu 30°. Od vzdálenějšího konce ohrady je vzdálen 197 m. Jak daleko je od bližšího konce ohrady? [153,2 m]
c) Vrchol věže stojící na rovině vidíme z místa B na povrchu země ve výškovém úhlu α=39°25´. Přijdeme-li směrem k patě věže o 50 m blíž na místo B, vidíme z něj vrchol věže ve výškovém úhlu β=58°42´. Jak vysoká je věž? [82 m]
d) Dvě přímé cesty se křižují v úhlu α=53°30´. Na jedné z cest stojí dva sloupy, jeden na křižovatce, druhý ve vzdálenosti 500 m od ní. Jak daleko je třeba jít od křižovatky po druhé cestě, aby byly oba sloupy vidět v zorném úhlu 15°? [dvě řešení: 1797 m; 1203 m]
- S využitím kosinové věty:
a) V trojúhelníku ABC: a=20 cm, b=18 cm, c=13 cm. Určete velikost úhlu α. [79°]
b) Trojúhelník ABC má délky stran 4 cm, 5 cm, 6 cm. Určete velikosti jeho vnitřních úhlů.
[a = 41°25'; b = 55°46'; g = 82°49']
c) V trojúhelníku ABC: b=10 cm, c=15 cm, α=60°. Určete velikost c. [13,23 cm]
d) V trojúhelníku ABC: b = 4,3 cm, b = 3,1 cm, g = 57°31' . Určete zbývající strany a úhly.
[c = 3,71 cm; a = 77°53'; b = 44°36']
- Řešte slovní úlohy s využitím kosinové věty:
a) Dvě síly o velikostech 10 N a 30 N, které svírají úhel 40°, se skládají do výslednice F. Určete její velikost. [38,2 N]
b) Dvě síly o velikostech 20 N a 30 N se skládají do výslednice o velikosti 26,5 N. Určete úhel sevřený skládanými silami. [60°]
c) Síla F =200 N se rozkládá na dvě složky o velikostech 150 N a 100 N. Vypočítejte úhel sevřený oběma složkami. [76°]
d) Síla F=200 N se rozkládá na dvě složky, které s ní svírají úhly o velikostech 27° a 74°. Určete velikost obou složek.
[92 N a 196 N]
e) tři síly o velikostech 10, 20 a 27 N působí na těleso v jednom bodě v téže rovině a jsou v rovnováze (jejich výslednice je 0). Určete úhly, které svírají jednotlivé síly navzájem.
[55°, 162° a 143°]
f) Ze stanice vyjedou současně dva nákladní vlaky po přímých tratích, které svírají úhel 156°30´. Rychlost prvního vlaku je 13 m/s, rychlost druhého vlaku je 14,5 m/s. Jak daleko budou od sebe za 5,5 minuty? [dvě řešení: 8885 m; 1911 m]
5. Další úlohy
a) V lichoběžníku ABCD znáte délky stran a=30 cm, b=15 cm, c=20 cm, d=12 cm. Určete velikost vnitřních úhlů [a = 85°28'; b = 52°53'; g = 127°07', δ=94°32‘]
b) vypočítejte šířku řeky, jestliže na jednom břehu byla vyznačena úsečka KL délky 40 m a dale byly změřeny úhly LKS: 76°24' a KLS 43°52', kde S je bod na druhém břehu řeky.
[31,2 m]
